Question

1．设a，b∈R⁺，则下列不等式中一定不成立的是（　　）

• A． a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}＞2\sqrt{2}$
• B． （a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）＞4
• C． $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}＞ab$
• D． $\frac{2ab}{a+b}＞\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 利用基本不等式判断即可．

解答 解：∵a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$（a=b等号成立），
2$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{2}$（ab=$\frac{1}{2}$等号成立），
a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$＞2$\sqrt{2}$，
∴（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥4（a=b等号成立），
$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{\sqrt{ab}}$≥$\frac{2ab}{\sqrt{ab}}$=2$\sqrt{ab}$，$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，
∴一定不成立的是D，
故选：D．

点评 本题考察了基本不等式的运用，关键掌握好条件，不等号方向．