Question

13．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+m．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值及对应的x的值．

解答 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcsox+cos²x+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+m
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+$\frac{1}{2}$，
∴最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
故当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$时，原函数取最小值2，即-$\frac{1}{2}$+m+$\frac{1}{2}$=2，∴m=2，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{2}$，
故当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1时，f（x）取得最大值为$\frac{7}{2}$，此时，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，x=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、值域，属于基础题．