Question

16．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．

Answer 1

分析 求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（-1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．

解答 解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，
设P（x，y），则有（x-3）²+y²=4x²+4y²，
∴（x+1）²+y²=4，表示以（-1，0）为圆心、半径等于2的圆．
点Q（3a，4a+5）到圆心（-1，0）的距离
d=$\sqrt{{（3a+1）}^{2}{+（4a+5）}^{2}}$=$\sqrt{2{5（a+\frac{23}{25}）}^{2}+\frac{21}{25}}$≥$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
故距离d可以是2，此时PQ=0，
故线段PQ长度的最小值为0．

点评 本题主要考查圆的一般方程，直线和圆的位置关系，二次函数的性质，求出点Q到圆心的距离d的最小值，是解题的关键，属于中档题．