Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2S_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1，数列{b_n}满足b₁=1，b_nb_n+1=$λ•{2}^{{a}_{n}}$．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，便得{b_n}为等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据递推公式，得到2a_n=a_n+1+a_n-1，继而得到数列{a_n}为等差数列，求出公差d，即可求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）根据递推公式，得到b_n+2=4b_n，求出b₂，b₃，若{b_n}为等比数列，则满足（b₂）²=b₃•b₁，继而求出正实数λ．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1，得到2S_n-1=n²a_n-1-（n-1）²a_n，
∴2a_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1-n²a_n-1+（n-1）²a_n，
∴2a_n=a_n+1+a_n-1，
∴数列{a_n}为等差数列，
∵2S₁=（1+1）²a₁-a₂，
∴4=8-a₂，
∴a₂=4，
∴d=a₂-a₁=4-2=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
（Ⅱ）∵b_nb_n+1=$λ•{2}^{{a}_{n}}$=λ•4ⁿ，b₁=1，
∴b₂b₁=4λ，
∴b₂=4λ，
∴b_n+1b_n+2=λ•4ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=4，
∴b_n+2=4b_n，
∴b₃=4b₁=4，
若{b_n}为等比数列，
则（b₂）²=b₃•b₁，
∴16λ²=4×1，
∴λ=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和等差数列等比数列的性质，属于中档题．