Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$，（x∈R）．
（1）若对任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）-$\frac{1}{3}$在区间[-2π，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据题意，x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）_min≥a．再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值，可得a的范围．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，根据正弦函数的图象的对称性，求得函数y=g（x）-$\frac{1}{3}$在区间[-2π，4π]内的所有零点之和．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
若对任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a，
则只需 f（x）_min≥a即可．
∵2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，
f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 a≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，可得y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象；
然后再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）=sinx的图象．
令g（x）-$\frac{1}{3}$=0，求得sinx=$\frac{1}{3}$，
求函数y=g（x）-$\frac{1}{3}$在区间[-2π，4π]内的所有零点之和．
由图可知，sinx=$\frac{1}{3}$ 在区间[-2π，4π]内有6个零点：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，
根据对称性有 $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{3π}{2}$，$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{2}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{{x}_{5}{+x}_{6}}{2}$=$\frac{5π}{2}$，
从而所有零点和为：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．