Question

9．已知A（4，-3），B（2，-1）和直线l：4x+3y-2=0．
（1）求在直角坐标平面内满足|PA|=|PB|的点P的方程；
（2）求在直角坐标平面内一点P满足|PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标．

Answer 1

分析 （1）A（4，-3），B（2，-1），可得线段AB的中点M的坐标为（3，-2），又k_AB=-1，即可得出线段AB的垂直平分线方程．
（2）设点P的坐标为（a，b），由于点P（a，b）在上述直线上，可得a-b-5=0．又点P（a，b）到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，可得$\frac{|4a+3b-2|}{5}$=2，联立解出即可得出．

解答 解：（1）∵A（4，-3），B（2，-1），
∴线段AB的中点M的坐标为（3，-2），又k_AB=-1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3，
即点P的方程x-y-5=0．…（5分）
（2）设点P的坐标为（a，b），
∵点P（a，b）在上述直线上，∴a-b-5=0．①
又点P（a，b）到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，
∴$\frac{|4a+3b-2|}{5}$=2，即4a+3b-2=±10，②…（8分）
联立①②可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{27}{7}}\\{b=-\frac{8}{7}}\end{array}\right.$
∴所求点P的坐标为（1，-4）或$（\frac{27}{7}，-\frac{8}{7}）$．…（12分）

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．