Question

10．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C=2A，sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
（I）求cosC，cosB的值；
（II）若ac=24，求边b的长．

Answer 1

分析 （I）由已知及二倍角的余弦函数公式可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，sinC，进而利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．
（II）由已知及正弦定理可求a=$\frac{2c}{3}$，联立ac=24，可求a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵C=2A，sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cosC=cos2A=1-2sin²A=$\frac{1}{8}$，…3分
∵C=2A，A为锐角，可得：cosA＞0，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{4}$，
又∵sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=$\frac{9}{16}$…6分
（II）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，而sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴a=$\frac{2c}{3}$，
又∵ac=24，
∴a=4，c=6，…9分
∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=5…12分

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．