Question

15．某年某学校游园有一个游戏，规则如下：盒子中有4个白球3个红球，每次从中取出一球，如果取出红球不放回，取出白球游戏结束．取出红球个数为X，奖品为Y支铅笔，Y=3-X，发放奖品后，把球全放回盒子，轮到下一名游戏者．
（1）试求某甲同学取出红球个数分布列；
（2 ） 甲、乙同学都进行了一次游戏，求甲比乙获铅笔数多的概率．

Answer 1

分析 （1）红球有3个，取出红球个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（2）甲、乙同学都进行了一次游戏，则甲比乙获铅笔数多的概率p=P（X=0）[1-P（X=0）]+P（X=1）[1-P（X=0）-p（X=1）]+P（X=2）P（X=3），由此能求出结果．

解答 解：（1）红球有3个，取出红球个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{1}}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=1）=$\frac{{A}_{3}^{1}{•A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{3}^{2}{•A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}{•A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$；
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{35}$

（2）甲、乙同学都进行了一次游戏，
则甲比乙获铅笔数多的概率：
p=P（X=0）[1-P（X=0）]+P（X=1）[1-P（X=0）-p（X=1）]+P（X=2）P（X=3）
=$\frac{4}{7}×\frac{3}{7}$+$\frac{2}{7}×\frac{1}{7}$+$\frac{4}{35}×\frac{1}{35}$
=$\frac{354}{1225}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率简洁公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．