Question

7．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2，且a₁=2．
（I）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（II）判断数列$\{\frac{{2×{3^n}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n与$\frac{1}{2}$的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出a_n+1+1=3（a_n+1），a₁+1=3，由此能证明数列{a_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．
（II）由数列{a_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，得到${a_n}={3^n}-1$，从而$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，由此利用裂项求和法能判断数列$\{\frac{{2×{3^n}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n与$\frac{1}{2}$的大小关系．

解答 证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2，且a₁=2．
∴由题意可得a_n+1+1=3a_n+3，即a_n+1+1=3（a_n+1），
又a₁+1=3≠0，∴数列{a_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．
解：（II）T_n＜$\frac{1}{2}$．
∵数列{a_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴${a}_{n}+1={3}^{n}$，即${a_n}={3^n}-1$，
∴$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，
∴数列$\{\frac{{2×{3^n}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和：
T_n=$\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}+\frac{1}{{3}^{3}-1}-\frac{1}{{3}^{4}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和与$\frac{1}{2}$的大小关系的判断与证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．