Question

20．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x-8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f′（x）=a-\frac{b}{{x}^{2}}$，依题意列式计算得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=-x-\frac{4}{x}$，$f′（x）=-1+\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{4-{x}^{2}}{{x}^{2}}$
得函数f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）递减，在（-2，0），（0，2）递增，
f（x）_极小值=f（-2），f（x）_极大值=f（2）

解答 解：（Ⅰ）∵$f′（x）=a-\frac{b}{{x}^{2}}$
函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x-8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3×1-8}\\{f（1）=a+b}\\{f′（1）=a-b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=-x-\frac{4}{x}$，$f′（x）=-1+\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{4-{x}^{2}}{{x}^{2}}$
当x∈（-∞，-2），（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（-2，0），（0，2）时，f′（x）＞0．
即函数f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）递减，在（-2，0），（0，2）递增，
∴f（x）_极小值=f（-2）=4；
f（x）_极大值=f（2）=-4．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值，属于中档题，