Question

15．在等差数列{a_n}中，已知a₂=4，a₄+a₇=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$，求b₁+b₂+b₃+…+b_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列面公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n．
（2）求出${b_n}={2^n}$，由此利用等比数列前n项和公式能求出b₁+b₂+b₃+…+b_n的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵在等差数列{a_n}中，已知a₂=4，a₄+a₇=15．
∴由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{（{a}_{1}+3d）+（{a}_{1}+6d）=15}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+2．…6分
（2）由（1）可得${b_n}={2^n}$，…8分
则b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2． …12分

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列通项公式、等比数列前n项和公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．