Question

4．已知函数f（x）=（sinx-cosx）²+$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{3π}{2}$）（x∈R）．
（1）求函数f（x）的递减区间；
（2）若f（α）=$\frac{3}{13}$，α∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），求cos（2α+$\frac{7π}{12}$）．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的递减区间．
（2）由题意求得sin（2α+$\frac{π}{3}$） 的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（2α+$\frac{7π}{12}$）=cos[（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）函数f（x）=（sinx-cosx）²+$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=1-sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=1-2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=1-2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的减区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵f（α）=$\frac{3}{13}$，α∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），∴1-2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{13}$，∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，
根据2α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$），可得cos（2α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{12}{13}$．
故cos（2α+$\frac{7π}{12}$）=cos[（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{12}{13}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{13}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{17\sqrt{2}}{26}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．