Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若AB的中点为（3，1），且直线PA，PB的倾斜角互补，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，由此得到2p=2，从而能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y²-2my-2n=0，利用韦达定理结合AB的中点为（3，1），求出m=1，从而直线l的方程为x=y+2，由此利用弦长公式、直线PA，PB的倾斜角互补、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△PAB的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，
当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，
∴2p=2，解得p=1，
∴抛物线C的方程为y²=2x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y²-2my-2n=0，
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n，
∵AB的中点为（3，1），∴2m=2，即m=1，
∴直线l的方程为x=y+2，
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{{y}_{2}}^{\;}}$=2$\sqrt{10}$，
∵k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{0}}+\frac{2}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=0，
∴2y₀+y₁+y₂=0，∴y₀=-1，
∴P（$\frac{1}{2}，-1$），点P到直线l的距离d=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
∴△PAB的面积为$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查抛物线、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．