Question

13．以椭圆的右焦点F₂为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，若直线MF₁（F₁为椭圆左焦点）是圆F₂的切线，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意思可得：点P是切点，因此PF₂=c并且PF₁⊥PF₂，可得∠PF₁F₂=30°，可知|PF₁|=$\sqrt{3}$c．根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-c．求得a，由离心率公式即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设F₂为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF₁（F₁为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
∴点P是切点，
∴PF₂=c，PF₁⊥PF₂．
又∵F₁F₂=2c，
∴∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₁|=$\sqrt{3}$c．
根据椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=2a-c．
∴2a-c=$\sqrt{3}$c，即a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故选C．

点评 本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，勾股定理及离心率公式，考查计算能力，属于中档题．