Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的

1

3

（纵坐标不变），然后再将所得图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象．求函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的最大值和最小值点的坐标确定A，和周期，根据函数在y轴的截距，求出φ，即可求函数y=f（x）的解析式；
（2）根据三角函数平移之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）
∴A=2，

T

2

=x₀+3π-x₀=3π，
即T=6π，
则

2π

ω

=6π，解得ω=

1

3

，
此时y=Asin（ωx+φ）=2sin（

1

3

x+φ），
∵函数图象在y轴上的截距为1，
∴函数过点（0，1），
即2sinφ=1，
则sinφ=

1

2

，
∵|φ|＜π，∴φ=

π

6

，
则y=Asin（ωx+φ）=2sin（

1

3

x+

π

6

）；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的

1

3

（纵坐标不变），得到y=2sin（x+

π

6

），
然后再将所得图象向右平移

π

3

个单位，得到y=2sin（x-

π

3

+

π

6

）=2sin（x-

π

6

），
即g（x）=2sin（x-

π

6

）．

点评：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质建立条件关系求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．