Question

7．已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，若△PF₁F₂的面积为9，则其短轴长为6．

Answer 1

分析 由已知得|PF₁|+|PF₂|=2a，$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=4c²，$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=9，再利用配方结合椭圆定义求得b的值．

解答 解：∵F₁、F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a，$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=4c²，
$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=9，
∴（|PF₁|+|PF₂|）²=4c²+2|PF₁||PF₂|=4a²，
∴36=4（a²-c²）=4b²，
∴b=3，则其短轴长为6．
故答案为：6．

点评 本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．