Question

2．在平面直角坐标系xOy中，点P到F₁（0，-$\sqrt{3}$）、F₂（0，$\sqrt{3}$）两点的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于A、B两点，当k为何值时|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|（O为坐标原点）此时|$\overrightarrow{AB}$|的值是多少？

Answer 1

分析 （1）椭圆椭圆的定义得出点P的轨迹C是椭圆，设出标准方程，求出a、b的值即可；
（2）设出A、B的坐标，由直线方程与椭圆方程联立，利用判别式△以及根与系数的关系，结合平面向量的坐标运算，即可求出弦长|$\overrightarrow{AB}$|．

解答 解：（1）由点P到F₁（0，-$\sqrt{3}$ ）、F₂（0，$\sqrt{3}$ ）两点的距离之和等于4，
结合椭圆定义知：点P的轨迹为C是“以F₁（0，-$\sqrt{3}$ ）、F₂（0，$\sqrt{3}$）为焦点的椭圆”，
设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{c=\sqrt{3}}\\{{c}^{2}{=a}^{2}{-b}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$；
所以轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；（4分）
（2）设A（x₁，y₁}），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{4x}^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²-4（k²+4）•（-3）=16（k²+3）＞0，
且x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$，（6分）
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
 所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$-$\frac{{3k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{{2k}^{2}}{{k}^{2}+4+1}$=$\frac{-{4k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}$=0；（9分）
解得k=±$\frac{1}{2}$，
x₁+x₂=±$\frac{4}{17}$，x₁x₂=-$\frac{2}{17}$；
所以弦长|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．（12分）

点评 本题考查了椭圆的定义与应用问题，也考查了直线方程与椭圆、判别式以及根与系数的关系，平面向量的坐标运算与模长问题，是综合性题目．