Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n+1）（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-n
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1
当n≥2时，S_n=2a_n-n   ①
S_n-1=2a_n-1-n+1        ②
①-②得a_n=2a_n-1+1即a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2≠0∴a_n-1+1≠0
∴

an+1

an-1+1

=2
∴{a_n+1}是以首项为2，公比为2的等比数列
a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=（2n+1）•2ⁿ
T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．