Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点F（0，1），直线l：y=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过点R，P分别作直线l₁，l₂，使得l₁⊥PF，l₂⊥l，l₁∩l₂=Q．
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）设N为轨迹C上的动点，是否在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值？若存在，求出定点E和弦长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得R是线段PF的中点，且QR⊥PF，可得|QP|=|QF|，由抛物线的定义可得：动点Q的轨迹C是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，即可得出轨迹C的方程．
（2）假设在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值．设以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦为GH，设N（x，y），E（0，t），则圆心为M(

x

2

，

t+y

2

)，圆心M到直线y=3的距离d=|

t+y

2

-3|．圆M的半径R=

1

2

|NE|=

1

2

x2+(y-t)2

，及x²=4y，可得|GH|=2

R2-d2

=2

(4-t)y+3t-9

，令t=4，即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得R是线段PF的中点，且QR⊥PF，
∴|QP|=|QF|，
∴动点Q的轨迹C是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，
∴轨迹C的方程为x²=4y．
（2）假设在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值．
设以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦为GH，
设N（x，y），E（0，t），则圆心为M(

x

2

，

t+y

2

)，
圆心M到直线y=3的距离d=|

t+y

2

-3|=

1

2

|t+y-6|．
圆M的半径R=

1

2

|NE|=

1

2

x2+(y-t)2

，
∵x²=4y，
∴R=

1

2

4y+(y-t)2

，
∴|GH|=2

R2-d2

=2

1 4 [4y+(y-t)2]- 1 4 (t+y-6)2

=2

(4-t)y+3t-9

，
令t=4，则|GH|=2

3

为定长，定点为E（0，4）．
因此在y轴上存在定点E（0，4），使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长为2

3

恒为定值．

点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程性质、圆的标准方程及其性质、直线与圆的相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．