Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M为直线l₁：y=-m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l₁上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点P（x，y），则Q（x，-1），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，可得

QF

•(

QP

+

FP

)=0，利用数量积运算可得-x²+4y=0，即x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．由x²=4y，可得y′=

1

2

x，可得切线方程为：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

．又切线过点M，可得y0=

x1

2

x0-

x 2 1

4

；同理可得过点B的切线方程为：y0=

x2

2

x0-

x 2 2

4

．可知：x₁，x₂是方程y0=

x

2

x0-

x2

4

的两个实数根．可得根与系数的关系：利用数量积运算可得

MA

•

MB

=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+

x

2 0

+y₁y₂-y₀（y₁+y₂）+

y

2 0

．可得：

MA

•

MB

=(m-1)(

x

2 0

+4m)．当m＞2时，

MA

•

MB

＞0，∠AMB＜

π

2

．利用斜率计算公式可得k_MA•k_AB=

x0(x0± x 2 0 -4y0 )

4

，若k_MA•k_AB=-1，整理得(y0+2)

x

2 0

=-4．即(m-2)

x

2 0

=4，而m＞2时，方程(m-2)

x

2 0

=4有解，即可得出．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），则Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴

QF

•(

QP

+

FP

)=0．
∵

QF

=（-x，2），

QP

=（0，y+1），

FP

=（x，y-1），
∴（-x，2）•（x，2y）=0，
∴-x²+4y=0，即x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x，
∴切点A的切线斜率为

1

2

x1，切线方程为：y-y1=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

．
又切线过点M，∴y0=

x1

2

x0-

x 2 1

4

①，
同理可得过点B的切线方程为y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，又过点M，∴y0=

x2

2

x0-

x 2 2

4

．②
由①②可知：x₁，x₂是方程y0=

x

2

x0-

x2

4

的两个实数根．
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀．

MA

•

MB

=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+

x

2 0

+y₁y₂-y₀（y₁+y₂）+

y

2 0

（*）．
把x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀.y1=

x 2 1

4

，y₂=

x 2 2

4

代入（*）可得：

MA

•

MB

=4m2+m

x

2 0

-4m-

x

2 0

=(m-1)(

x

2 0

+4m)．
当m＞2时，

MA

•

MB

＞0，∠AMB＜

π

2

．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

.kMA=

x1

2

=

x0± x 2 0 -4y0

2

，
∴k_MA•k_AB=

x0

2

×

x0± x 2 0 -4y0

2

=

x0(x0± x 2 0 -4y0 )

4

，
若k_MA•k_AB=-1，整理得(y0+2)

x

2 0

=-4．
∵y₀=-m，∴(m-2)

x

2 0

=4，而m＞2时，方程(m-2)

x

2 0

=4有解，
∴m＞2时，MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形．
即直线l₁上存在两点M，使得△MAB为直角三角形．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．