Question

设P是双曲线x²-

y2

3

=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线左焦点为F₂，根据双曲线的定义可知|PA|+|PF|=|PF₂|-2a+|PA|，进而可知当P、F₂、A三点共线时有最小值，根据双曲线方程可求F₂的坐标，此时|PF₂|+|PA|=|AF₂|，利用两点间的距离公式求得答案．

解答： 解：设双曲线左焦点为F₂，
由双曲线的定义可得|PF₂|-|PF|=2a，即|PF|=|PF₂|-2a，
则|PA|+|PF|=|PF₂|+|PA|-2a≥|F₂A|-2a，
当P、F₂、A三点共线时，|PF₂|+|PA|有最小值，
此时F₂（-2，0）、A（3，1），
则|PF₂|+|PA|=|AF₂|=

26

，
而对于这个双曲线，2a=2，
所以最小值为

26

-2．
故答案为：

26

-2．

点评：本题主要考查了双曲线的定义，考查了两点的距离公式，运用两点间线段最短是解题的关键．