Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}为等差数列，则a_n=（　　）

• A、

  n

  2n-1

• B、

  n+1

  2n-1+1

• C、

  2n-1

  2n-1

• D、

  n+1

  2n+1

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：设b_n=nS_n+（n+2）a_n，由已知得b₁=4，b₂=8，从而b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n，进而得到{

an

n

}是以

1

2

为公比，1为首项的等比数列，由此能求出an=

n

2n-1

．

解答： 解：设b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a₂=1，
∴b₁=4，b₂=8，
∴b_n=b₁+（n-1）×（8-4）=4n，
即b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n
当n≥2时，Sn-Sn-1+(1+

2

n

)an-(1+

2

n-1

)an-1=0
∴

2(n+1)

n

an=

n+1

n-1

an-1，即2•

an

n

=

an-1

n-1

，
∴{

an

n

}是以

1

2

为公比，1为首项的等比数列，
∴

an

n

=(

1

2

)n-1，∴an=

n

2n-1

．
故选：A．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用．