Question

【题目】如图，四边形是直角梯形， ，又，直线与直线所成的角为．

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析.（2）.

【解析】试题分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作

，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值为．13分

方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则． ． 5分

∵，

且，∴，得，∴． 8分

设平面MAC的一个法向量为，则由得得∴． 10分

平面ABC的一个法向量为． 12分

显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．13分