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已知函数f(x)=
sin4x+cos4x+sin2xcos2x
2-sin2x
-
1-cosx
4sin2
x
2

(1)判断函数f(x)的奇偶性.
(2)当x∈(
π
6
π
2
)
时,求函数f(x)的值域.
(3)若
a
=(sinα,1),
b
=(cosα,1)
并且
a
b
,求f(α)的值.
分析:先把f(x)利用同角三角函数间的基本关系、二倍角公式等进行化简,
(1)要判断函数的奇偶性,方法是在函数的定义域内求出f(-x)如果等于-f(x)即为奇函数;如果等于f(x)即为偶函数;
(2)由x的范围求出2x的范围,由正弦函数的图象得到sin2x范围即可得到f(x)的值域;
(3)由两个向量平行得到sinα-cosα=0,求出α的值,代入f(x)化简可得f(α)的值即可.
解答:解:f(x)=-
(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x
2-sin2x
-
2sin2
x
2
4sin2
x
2
=
1-
1
4
sin22x
2-sin2x
-
1
2

=
(1-
1
2
sin2x)(1+
1
2
sin2x)
2(1-
1
2
sin2x)
-
1
2
=
1
4
sin2x

(1)因为函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ,k∈Z},f(-x)=-f(x)所以函数f(x)为奇函数;
(2)当x∈(
π
6
π
2
)
时,2x∈(
π
3
,π),函数中sin2x的最大值为1,最小值为0且取不到,所以f(x)的最大值为
1
4
,最小值为0,所以f(x)的值域为(0,
1
4
]

(3)由
a
b
得sinα-cosα=0,
2
2
2
sinα-
2
2
cosα)=
2
sin(α-
π
4
)=0,
所以α-
π
4
=kπ,解得α=kπ+
π
4

∴f(α)=
1
4
sin2α=
1
4
sin(2kπ+
π
2
)=
1
4
sin
π
2
=
1
4
点评:此题是一道综合题,考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及三角函数中的恒等变换进行化简求值,灵活运用平面向量积的坐标表示.要求学生灵活运用所学的知识解决数学问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
记aij是这个数表的第i行第j列的数.例如a43=17
(Ⅰ)  求该数表前5行所有数之和S;
(Ⅱ)2009这个数位于第几行第几列?
(Ⅲ)已知函数f(x)=
3x
3n
(其中x>0),设该数表的第n行的所有数之和为bn
数列{f(bn)}的前n项和为Tn,求证Tn
2009
2010

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•开封二模)已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面积S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•黑龙江一模)已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面积S.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•黄山模拟)已知函数f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分别求函数f(x)和g(x)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x

(Ⅲ)对一个实数集合M,若存在实数s,使得M中任何数都不超过s,则称s是M的一个上界.已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a
所有项组成的集合的上界(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值.

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