Question

四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD=1，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB
（Ⅱ）求三棱锥V_P-ABD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PB中点G，连接AG，FG，由线线平行证明线面平行，（2）在平面PAB中，作PH⊥AB于点H．求底面面积和体高，可得体积．

解答： 解：（1）证明：取PB中点G，连接AG，FG，
又∵F为PC的中点，
∴GF是△PBC的中位线，
即GF

∥ .

.

1

2

BC，
∵四边形ABCD底面是平行四边形，E分别为AB的中点，
∴AE

∥ .

.

1

2

BC，
∴GF

∥ .

.

AE，
即四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AG，又∵AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）在平面PAB中，作PH⊥AB于点H．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，PH⊥AB，
∴PH⊥平面ABCD，
∴PH是三棱锥P-ABD的高，
∵在等边三角形PAB中，PA=PB=AB=1，
∴PH=

3

2

，
∵在△ABD中，AB=1，AD=2，∠BAD=600∴S△ABD=

1

2

×2×1×sin600=

3

2

∴VP-ABD=

1

3

S△ABD•PH=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

1

4

．

点评：本题考查了辅助线的作法，线线平行证明线面平行的一般方法及体积的求法，属于中档题．