Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象与x轴交点为（-

π

6

，0），相邻最高点坐标为（

π

12

，1）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于点（

π

12

，0）成中心对称，求y=g（x）的解析式及单调增区间．
（3）求函数h（x）=log 

1

2

f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据题意，求出A、ω与φ的值，即得f（x）的解析式；
（2）求出与y=f（x）的图象关于点（

π

12

，0）成中心对称的函数g（x），再求出它的单调增区间；
（3）求出h（x）的定义域，再根据复合函数的单调性，求出h（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）根据题意，A=1，

π

12

ω+φ=

π

2

，
又（-

π

6

）ω+φ=0；
解得ω=2，φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（2）∵与y=f（x）的图象关于点（

π

12

，0）成中心对称的函数是
-y=f（-（x-2×

π

12

）），
即-y=sin[-2（x-

π

6

）+

π

3

]，
∴y=sin（2x-

2π

3

）；
即g（x）=sin（2x-

2π

3

）；
令-

π

2

+2kπ≤2x-

2π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

6

+2kπ≤2x≤

7π

6

+2kπ，k∈Z，
即

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ，k∈Z；
∴g（x）的单调增区间是[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z；
（3）∵h（x）=log

1

2

f（x）=log

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴sin（2x+

π

3

）＞0，且sin（2x+

π

2

）是减函数；
∴2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

＜π+2kπ，k∈Z；
即

π

6

+2kπ≤2x＜

2π

3

+2kπ，k∈Z，
∴

π

12

+kπ≤x＜

π

3

+kπ，k∈Z；
∴h（x）的单调增区间是[

π

12

+kπ，

π

3

+kπ），k∈Z．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，函数图象的对称问题，
是综合题目．