Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，a₁=3，且a₂，a₄，a₇成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

2n-1

，求数列{b_n}的前几项和S_n；
（3）设C_n=（lg9-1）•a_n，问数列{C_n}有无最大或最小项，若有请求出n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）C_n=（lg9-1）•a_n=（lg9-1）（n+2），利用一次函数的单调性即可判断出．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，a₁=3，且a₂，a₄，a₇成等比数列．
∴

a

2 4

=a2•a7，即（3+3d）²=（3+d）（3+6d），化为d²-d=0，解得d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+2．
（2）b_n=

an

2n-1

=

n+2

2n-1

，
∴S_n=

3

1

+

4

2

+

5

22

+…+

n+1

2n-2

+

n+2

2n-1

，

1

2

Sn=

3

2

+

4

22

+…+

n+1

2n-1

+

n+2

2n

，
两式相减可得：

1

2

Sn=3+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+2

2n

=2+

1- 1 2n

1- 1 2

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
∴S_n=8-

n+4

2n-1

．
（3）C_n=（lg9-1）•a_n=（lg9-1）（n+2），
∵lg9-1＜0，
∴数列{C_n}有最大项，为c₁=3（lg9-1），无最小项．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．