Question

设函数f（x）=ax-lnx-3（a∈R），g（x）=

x

ex

．
（Ⅰ） 若函数g（x）的图象在点（0，0）处的切线也恰为f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞0），对任意的x∈（0，e]，都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得 f（x₀）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求g（x）的图象在（0，0）处的切线方程是y=x，再利用函数g（x）的图象在点（0，0）处的切线也恰为f（x）图象的一条切线，可求a的值；
（Ⅱ）先确定函数g（x）的值域，令m=g（x），则原命题等价于对于任意m∈（0，1]，都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x₀）=m成立，而f′（x）=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e^-1，e⁴]，分类讨论，确定函数的单调性，求函数的最值，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵g'（x）=（1-x）e^-x，
∴g'（0）=1，
∴g（x）的图象在（0，0）处的切线方程是y=x；
设y=x与f（x）的图象切于点（x₀，y₀），
而f′（x）=a-

1

x

，∴a-

1

x0

=1且ax₀-lnx₀-3=x₀，
解得a=e²+1；  
（Ⅱ）∵g'（x）=（1-x）e^-x，
∴g（x）在（0，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，
且g（0）=0，g（1）=e^-1，g（e）=e^1-e∈（0，1），
∴g（x）∈（0，1]；      
若令m=g（x），则原命题等价于对于任意m∈（0，1]，都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，
使得f（x₀）=m成立． 
而f′（x）=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e^-1，e⁴]，
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上单调递减，
要满足条件，则必须有fmax=f（e-4）=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，无解，
所以此时不存在满足条件的a；
②当0＜a≤e^-1，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上单调递减，要满足条件，
则必须有fmax=f（e-4）=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，解得0≤a≤

4

e

，∴0＜a≤e^-1；
③当e^-1＜a＜e⁴时，f（x）在区间（e^-4，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e）上单调递增，
又f（e^-4）=ae^-4+1＞1，要满足条件，则f_min=f（

1

a

），解得a≤

4

e

，∴e-4＜a≤

4

e

；
④当a≥e⁴时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上单调递增，
又fmin=f（e-4）=ae-4+1＞1，所以此时不存在a满足条件；   
综上有0＜a≤

4

e

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．