Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量

m

=(b+c，a2+bc)，

n

=(b+c，-1)，且

m

•

n

=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

3

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为0，列出关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosA与a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（b+c，a²+bc），

n

=（b+c，-1），且

m

•

n

=0，
∴（b+c）²-a²-bc=0，即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

-bc

2bc

=-

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

2π

3

；
（Ⅱ）∵cosA=-

1

2

，a=

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²=3-bc，
又b²+c²≥2bc（当且仅当b=c时取等号），
∴3-bc≥2bc，即bc≤1．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

3

4

，
则△ABC的面积的最大值为

3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．