Question

在（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列，求
（1）展开式中所有项的系数之和；
（2）展开式中的有理项；
（3）展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：根据二项式定理，由已知求出指数n，然后采用赋值法求展开式所有系数之和；写出通项求展开式的通项求有理项．

解答： 解：由题意知，2×

1

2

C

1 n

=1+

C

2 n

（

1

2

）²解得n=8或者n=1舍去；
∴（1）令x=1，得展开式中所有项的系数之和为（1+

1

2

）⁸=（

3

2

）⁸；
（2）展开式的通项为

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=

1

2r

C

r 8

x4-

3

4

r，令4-

3

4

r为整数，则r=0，4，8，
所以展开式中的有理项T₁=x⁴，T₅=

1

24

C

4 8

x=

35

8

x，T₉=

1

28

C

8 8

x-2=

1

256

x-2；
（3）解

1 2r C r 8 ≥ 1 2r-1 C r-1 8 1 2r C r 8 ≤ 1 2r+1 C r+1 8

得2≤r≤3，
∴展开式中系数最大的项为T₃=7x 

5

2

，T₄=7x 

7

4

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质．