Question

已知向量

a

=（

5

，sin2α），

b

=（cos2α，

15

）．
（1）若

a

⊥

b

，且α∈（

π

2

，π），求角α的值；
（2）若

a

•

b

=-

8 5

5

，且α∈（

5π

12

，

2π

3

），求sin2α的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：三角函数的求值

分析：（1）由向量垂直可得2α的方程，由三角函数可得tan2α，结合α的范围可得；
（2）由题意易得cos（2α-

π

3

），由角的范围和同角三角函数基本关系可得sin（2α-

π

3

）的值，而sin2α=sin[（2α-

π

3

）+

π

3

]=

3

2

sin（2α-

π

3

）+

1

2

cos（2α-

π

3

），代值计算可得．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=

5

cos2α+

15

sin2α=0，
变形可得tan2α=-

3

3

，∵α∈（

π

2

，π），∴2α∈（π，2π），
∴2α=

11π

6

，∴α=

11π

12

；
（2）∵

a

•

b

=

5

cos2α+

15

sin2α=2

5

cos（2α-

π

3

）=-

8 5

5

，
∴cos（2α-

π

3

）=-

4

5

，∵α∈（

5π

12

，

2π

3

），∴2α-

π

3

∈（

π

2

，π），
∴sin（2α-

π

3

）=

1-cos2(2α- π 3 )

=

3

5

，
∴sin2α=sin[（2α-

π

3

）+

π

3

]=

3

2

sin（2α-

π

3

）+

1

2

cos（2α-

π

3

）
=

3

2

×

3

5

+

1

2

×(-

4

5

)=

3 3 -4

10

点评：本题考查三角函数公式，涉及平面向量的数量积，属基础题．