Question

已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，当x＞1时，f（x）＞

1

2

，且f（

1

2

）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）解关于x的不等式：f（x）+f（x+3）＞2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，先令m=n=1，求得（1）=

1

2

，再令m=2，n=

1

2

，求得f（2），
（2）先判断函数f（x）为增函数，再题意得到不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，
令m=n=1，
则f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，
所以f（1）=

1

2

，
再令m=2，n=

1

2

，
则f（1）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，
∴f（2）=1
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

因为x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，
∵x＞1时，f（x）＞

1

2

，
则f（

x2

x1

）＞

1

2

，
∴f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
因为f（4）=f（2）+f（2）-

1

2

=

3

2

所以f（x）+f（x+3）=f（x²+3x）+

1

2

＞2．
即f（x²+3x）＞

3

2

=f（4），
所以

x＞0 x+3＞0 x2+3x＞4

，解得x＞1，
故不等式的解集为（1，+∞）

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据抽象函数，利用赋值法是解决本题的关键．综合性较强．