Question

设函数f（x）=e^x-x，g（x）=ax²+1，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＜

1

4

且a≠0时，若y=f（x）与y=g（x）在公共点P处有相同切线，求切点P坐标；
（3）若f（x）≥g（x）对?x≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=e^x-1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）设f（x）与g（x）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．f′（x）=e^x-1，g′（x）=2ax，由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），由此能求出P（0，1）．
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-ax²-1≥0，则F′（x）=e^x-2ax-1，x≥0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
由f′（x）＞0，得x＞0，故增区间为（0，+∞）；
由f′（x）＜0，得x＜0，故减区是为（-∞，0）．
（2）设f（x）与g（x）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=e^x-1，g′（x）=2ax
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

ex0-x0=ax02+1 ex0-1=2ax0

，
解得x₀=0或x0=

2a+1

a

（舍），
f′（0）=0，f（0）=1，
∴P（0，1）．
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-ax²-1≥0，
则F′（x）=e^x-2ax-1，x≥0，
当a＜0时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，
∴F（x）_min=F（0）=1-1=0；
a=0时，f（x）=e^x-1-x，f'（x）=e^x-1
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加；
f ′（x）=e^x-1-2ax
由e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立
故f'（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即a≤

1

2

时，f'（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）
从而当a＞

1

2

时，f'（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，
于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0
综合得a的取值范围为（-∞，

1

2

]．

点评：本题考查函数的音调区间的求法，考查点的坐标的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．