Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=3，2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整数m、n的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），得2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），由此能证明{a_n+1-a_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an-an-1=(

1

2

)n-2，从而得an=4-(

1

2

)n-2，由此能求出使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整数m、n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
得2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=1为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an-an-1=(

1

2

)n-2，
累加得an=4-(

1

2

)n-2，
则

an-m

an+1-m

＜

2

3

，即：

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

，
由题意知m≥4时无解，
则

m=1 n=1

，

m=2 n=1

，

m=3 n=2.

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的解法，是中档题，解题时要注意递推公式的合理运用．