Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₄+1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1-a_n=2，数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，由等比数列中公比为q，b₄=b₁•q³=8，求得q，根据等差和等比数列通项公式即可求得数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由c_n=a_n+b_n=2n-1+2^n-1，由等差数列和等比数列前n项和公式，采用分组求和的方法即可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由题意可知：a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，
∴a₄=7，
由等比数列{b_n}公比为q，b₄=b₁•q³=8，
∴q³=8，q=2，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=2n-1+2^n-1，
数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{（1+2n-1）×n}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，
=2ⁿ+n²-1，
数列{c_n}的前n项和S_n=2ⁿ+n²-1．

点评 本题考查等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式，考查数列的分组求和，考查计算能力，属于基础题．