Question

17．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=-1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C₁与C₂有两个公共点时，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标方程互化方法，求C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C₁与C₂有两个公共点时，圆心到直线的距离d≤r，即可求实数a取值范围．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，即ρsinθ+ρcosθ=a，
∴C₁的直角坐标方程为x+y-a=0；
（Ⅱ）曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=-1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．普通方程为（x+1）²+（y+1）²=1，
∵C₁与C₂有两个公共点，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}$≤1，
∴-2-$\sqrt{2}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．