Question

7．已知函数f（x）=x²+mx+n图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-x）对任意实数x都成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设F（x）=tx²+8x-f（x）．
①若关于x的方程F（x）=0的两根分别在区间（0，1）（2，3）内，求实数t的取值范围；
②设t≥1，求函数F（x）在闭区间[-1，1]上的最小值函数G（t）的表达式及其值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，从而求出m的值，将（1，3）代入解析式求出n的值即可；
（2）①根据根的存在性定理得到f（0）f（1）＜0且f（2）f（3）＜0，解不等式组即可；
（3）通过讨论t的范围，得到F（x）的单调性，从而求出F（x）的最小值即G（t）即可，进而求出G（t）的值域．

解答 解：（1）f（-1+x）=f（-x）对任意实数x都成立
∴对称轴x=-$\frac{m}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得：m=1，
∵函数f（x）=x²+mx+n图象过点（1，3），
∴3=1+1+n，解得：n=1，
∴f（x）=x²+x+1，
（2）①F（x）=tx²+8x-f（x）=tx²+8x-x²-x-1=（t-1）x²+7x-1，
若关于x的方程F（x）=0的两根分别在区间（0，1）（2，3）内，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）f（1）＜0}\\{f（2）f（3）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t+5＞0}\\{（4t+23）（9t+11）＜0}\end{array}\right.$，解得：-5＜t＜-$\frac{11}{9}$，
②t=1时：F（x）=7x-1，F（x）在[-1，1]递增，G（t）=F（x）_min=F（-1）=-8，
t＞1时：F（x）是开口向上的二次函数，对称轴x=-$\frac{7}{2（t-1）}$＜0，
当-$\frac{7}{2（t-1）}$≤-1即1＜t≤$\frac{9}{2}$时：F（x）在[-1，1]递增，
∴G（t）=F（x）_min=F（-1）=t-9，
当-1＜-$\frac{7}{2（t-1）}$＜0即t＞$\frac{9}{2}$时：
G（t）=F（x）_min=F（-$\frac{7}{2（t-1）}$）=-$\frac{49}{4（t-1）}$-1，
∴G（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t-9，1≤t≤\frac{9}{2}}\\{-\frac{49}{4（t-1）}-1，t＞\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
当1≤t≤$\frac{9}{2}$时：G（t）∈[-8，-$\frac{9}{2}$]，
当t＞$\frac{9}{2}$时：G（t）∈（-$\frac{9}{2}$，-1），
故G（t）的值域是[-8，-1）．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，函数的单调性、最值问题，求出F（x）的表达式是解题的关键，本题是一道中档题．