Question

【题目】已知函数．

Ⅰ当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；

Ⅱ当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），为极大值点（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；

（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1]＞0，根据0＜x1＜1时，0.1＜x1＜2时，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．

（Ⅰ），，则

从而，所以时，，为增函数；

时，，为减函数，所以为极大值点.

（Ⅱ）函数的定义域为，有两个极值点

，，则在上有两个不等的正实根，所以，

由可得

从而问题转化为在，且时成立.

即证成立.

即证 即证

亦即证 . ①

令则

1)当时，，则在上为增函数且，①式在上不成立.

2)当时，

若，即时，，所以在上为减函数且，

、在区间及上同号，故①式成立.

若，即时，的对称轴，

令，则时，，不合题意.

综上可知：满足题意.