Question

【题目】如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．

当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，

当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，

当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

∴函数的周期是4．

因此最终构成图象如下：

①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；

②，由图象即分析可知函数的周期是4．

即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；

③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，

故③错误；

④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；

⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dxπ（）21×1π×12，

故⑤正确．

故答案为：①②⑤．