Question

【题目】如图，在边长为的菱形中，，现沿对角线把翻折到的位置得到四面体，如图所示.已知.

（1）求证：平面平面；

（2）若是线段上的点，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，推导出、，利用线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；

（2）推导出、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

（1）在三棱锥中，取的中点，连接、，得到，

四边形是菱形，，，

又，，，，

又，，，

又，，、平面，平面，

又平面，平面平面；

（2），为中点，，、、两两垂直，

以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，

设平面的法向量，

由，即，解得，取，则，

易知平面的一个法向量为，

.

由图可知二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.