Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且∠CDB₁=90°，AA₁=CD，则点A₁到平面B₁CD的距离为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A₁到平面B₁CD的距离．

解答： 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA₁=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B₁（0，4，t），A（3，0，0），
B（0，4，0），

AB

=(-3.4，0)，
设

AD

=λ

AB

，则（a-3，b，0）=（-3λ，4λ，0），
∴a=3-3λ，b=4λ，即D（3-3λ，4λ，0），
∴

CD

=（3-3λ，4λ，0），

B1D

=（3-3λ，4λ-4，-t），
∵∠CDB₁=90°，
∴

CD

•

B1D

=25λ²-34λ+9=0，
解得λ=1或λ=

9

25

，
当λ=1时，D与B重合，点A到面B₁CD的距离为3；
当λ=

9

25

时，

CD

=（

48

25

，

36

25

，0），t=

( 48 25 )2+( 36 25 )2

=

12

5

，

CB1

=（0，4，

12

5

），
设平面B₁CD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CD = 48 25 x+ 36 25 y=0 n • CB1 =4y+ 12 5 z=0

，取x=3，得

n

=（3，-4，

20

3

），

CA1

=（3，0，

12

5

），
∴点A₁到平面B₁CD的距离为：d=

| CA1 • n |

| n |

=

9+ 240 15

9+16+ 400 9

=3．
综上所述，点A₁到平面B₁CD的距离为3．
故答案为：3．

点评：本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．