Question

(13分) 已知曲线C：的横坐标分别为1和，且a₁=5，数列{x_n}满足x_n+1 = tf (x_n – 1) + 1（t > 0且）．设区间，当时，曲线C上存在点使得x_n的值与直线AA_n的斜率之半相等．
(1)    证明：是等比数列；
(2)    当对一切恒成立时，求t的取值范围；
(3)    记数列{a_n}的前n项和为S_n，当时，试比较S_n与n + 7的大小，并证明你的结论．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ) 0<t< （Ⅲ）

：(1) ∵由已知得  ∴
由
∴即
∴是首项为2+1为首项，公比为2的等比数列. ········ 4分
(2) 由(1)得=（2+1）·2^n-1，∴
从而a_n=2x_n－1=1+，由D_n+1D_n，得a_n+1<a_n，即.   
∴0<2t<1，即0<t<9分
(3) 当时，  ∴
不难证明：当n≤3时，2^n-1≤n+1；当n≥4时，2^n-1>n+1.
∴当n≤3时，           
当n≥4时，
综上所述，对任意的13分