Question

已知函数f（x）=x²+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=g（a_n），求a_n；
（3）数列{a_n}满足：a1=3，an+1=an-

f(an)

g(an)

，(n=1，2，3，…)记bn=ln

an-β

an-α

，（n=1，2，…），求证数列{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先求出方程的根，再利用α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），即可得到结论；
（2）证明{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得a_n；
（3）确定数列相邻项的关系，可得等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．

解答：（1）解：由x²+x-6=0，可得x=2或-3，
∵α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴α=2，β=-3；
（2）解：∵g（x）=2x+1，∴a_n+1=g（a_n）=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（3）证明：an+1=an-

f(an)

g(an)

=

an2+6

2an+1

∴a_n+1+3=

an2+6

2an+1

+3=

(an+3)2

2an+1

，a_n+1-2=

(an-2)2

2an+1

∴bn=ln

an-β

an-α

=ln

an+3

an-2

=2ln

an-1+3

an-1-2

=2b_n-1
∴{b_n）是首项为ln

a1+3

a1-2

=ln6，公比为2的等比数列
∴{b_n}的前n项和S_n=

(1-2n)ln6

1-2

=（2ⁿ-1）ln6．

点评：本题考查数列与函数的关系，考查等比数列的判定，考查等比数列的通项与求和，属于中档题．