Question

13．如图是一个半径为1的半圆，AB是直径，点C在圆弧上，且与A、B不重合，△ACD是等边三角形，设∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
（1）将三角形ABC的面积S₁表示为θ的函数；
（2）将三角形ACD的面积S₂表示为θ的函数；
（3）求四边形ABCD的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先由已知将AC，BC表示成θ的函数，求出△ABC的面积即可；
（2）由AC=2cosθ，即可求出等边三角形△ACD的面积；
（3）先求四边形ABCD的面积，根据数据函数的恒等变换，求S的最大值即可．

解答 解：（1）在△ABC中，AB是直径，
∴∠ACB=$\frac{π}{2}$；
∵∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴AC=AB•cos∠CAB=2cosθ，
BC=AB•sin∠CAB=2sinθ；
∴三角形ABC的面积S₁=$\frac{1}{2}$AC•BC
=$\frac{1}{2}$×2cosθ×2sinθ
=2sinθcosθ
=sin2θ，
（2）等边三角形△ACD中，AC=2cosθ，
∴三角形ACD的面积S₂=$\frac{1}{2}$×AC²•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×（2cosθ）²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$cos²θ
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）由（1），（2）可得四边形ABCD的面积为：S=S_△ABC+S_△ACD=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵S=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin（2θ+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴当2θ+α=$\frac{π}{2}$时，S取得最大值是$\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时θ=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换的应用问题，也考查了求三角形的面积的应用问题，是综合性题目．