Question

【题目】已知函数y=f（x）的定义域的R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{an}满足f（an+1）f（ ）=1（n∈N*），且a1=f（0），则下列结论成立的是（ ）
A.f（a2013）＞f（a2016）
B.f（a2014）＞f（a2017）
C.f（a2016）＜f（a2015）
D.f（a2013）＞f（a2015）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=﹣1，y=0，则f（﹣1）f（0）=f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，则f（0）=1，
∵f（an+1）f（ ）=1=f（0），
∴f（an+1+ ）=f（0）=a1 ， 则an+1+ =0，
即an+1=﹣ ，且a1=1，
当n=1时，a2=﹣ ；当n=2时，a3=﹣2；当n=3时，a4=1，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
∴a2013=a3=﹣2，a2014=a1=1，a2015=a2=﹣ ，
a2016=a3=﹣2，a2017=a1=1，
故选：C．