【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程;
(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)直线l: (其中t为参数),消去参数t得普通方程y=x﹣4.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2 , 得
x2+(y﹣2)2=4;
(Ⅱ)由x2+(y﹣2)2=4得圆心坐标为(0,2),半径R=2,
则圆心到直线的距离为:d= =3
,
而点P在圆上,即O′P+PQ=d(Q为圆心到直线l的垂足),
所以点P到直线l的距离最小值为3 ﹣2.
【解析】(Ⅰ)消去参数t即可得到直线l的普通方程;利用x=ρcosθ,y=ρsinθ将曲线C转化为普通方程;(Ⅱ)利用点到直线的距离公式,求出P到直线l的距离的最小值,再根据函数取最值的情况求出P点的坐标,得到本题结论.
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【题目】已知函数y=f(x)的定义域的R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足f(an+1)f( )=1(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是( )
A.f(a2013)>f(a2016)
B.f(a2014)>f(a2017)
C.f(a2016)<f(a2015)
D.f(a2013)>f(a2015)
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【题目】如图,已知直线l:x+ y﹣c=0(c>0)为公海与领海的分界线,一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船,走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行,以使上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍,且两者都是沿直线航行,但走私船可能向任一方向逃窜.
(1)如果走私船和巡逻船相距6海里,求走私船能被截获的点的轨迹;
(2)若O与公海的最近距离20海里,要保证在领海内捕获走私船(即不能截获走私船的区域与公海不想交).则O,A之间的最远距离是多少海里?
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【题目】已知圆的方程为x2+y2﹣6x=0,过点(1,2)的该圆的三条弦的长a1 , a2 , a3构成等差数列,则数列a1 , a2 , a3的公差的最大值是
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知双曲线C: =1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若l过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率kPA , kPB均存在,求证:kPAkPB为定值;
(3)若l过双曲线的右焦点F1 , 是否存在x轴上的点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有 =0成立?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知复数z=lg(m2﹣2m﹣2)+(m2+3m+2)i,根据以下条件分别求实数m的值或范围.
(1)z是纯虚数;
(2)z对应的点在复平面的第二象限.
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