【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
为菱形,
,
,E,F分别为
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)点G是线段上一动点,若
与平面
所成最大角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取的中点H,连结
,证明四边形
为平行四边形得到证明.
(2)连结,证明
为
与平面
所成角的平面角得到
,以A为原点,如图建立空间直角坐标系,平面
的一个法向量为
,平面
的法向量
,计算夹角得到答案.
(1)取的中点H,连结
,
∵E,F分别为的中点,∴
,
,
由题知,
,∴
,
,
∴四边形为平行四边形,∴
,
∵平面
,且
平面
,∴
平面
.
(2)连结,∵四边形
为菱形,
,
∴是等边三角形,E为
中点,
∴,且
,
∵平面
,
平面
,∴
,
,
∴平面
,
∵平面
,∴
,
∴为
与平面
所成角的平面角,
在中,∵
,
∴当最短时,
最大,
,
∵,∴
,
在中,
,
,∴
,
以A为原点,如图建立空间直角坐标系,
则,
则,
∵,∴
平面
,
∴平面的一个法向量为
,
平面的法向量
,
则,∴
,取
,得
,
设二面角的平面角为
,
则,
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】已知数列{an}中,相邻两项an,an+1是关于x的方程:x2+3nx+bn0(n∈N*)的两实根,且a1=1.
(1)若Sn为数列{an}的前n项和,求S100 ;
(2)求数列{an}和{bn}的通项公式.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数,试判断
是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(2)若是定义在区间
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围;
(3)若为定义域
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围;
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【题目】《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民月收入总额(工资、薪金等)不超过免征额的部分不必纳税,超过免征额的部分为全月应纳税所得额,个人所得税税款按税率表分段累计计算.为了给公民合理减负,稳步提升公民的收入水平,自2018年10月1日起,个人所得税免征额和税率进行了调整,调整前后的个人所得税税率表如下:
(1)已知小李2018年9月份上交的税费是295元,10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同,请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少?
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入,并制成下面的频率分布直方图.
(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数;
(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,按调整后税率表,试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元?
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,离心率为
,点
在椭圆
上,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过点的直线与椭圆
交于
两点,点
在直线
上,求
的最小值.
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【题目】有次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟米,每分钟的用氧量为
升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟
米,每分钟用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为
升;
(1)将表示为
的函数;
(2)若,求总用氧量
的取值范围.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,,四边形ACEF为正方形,且平面
平面ACEF.
(1)证明:;
(2)求平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
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