Question

椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）的焦点在x轴上，左焦点为（-c，0），其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在直线x=-

4

c

上，
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线x=-

4

c

于点C，设O为坐标原点，且

OA

+

OC

=2

OB

，求△OAB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用轴对称的性质、椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量运算及其相等即可得出．

解答： 解：（1）椭圆的右顶点为（2，0）．
设（2，0）关于直线x-y+4=0的对称点为（x₀，y₀），则

x0+2 2 - y0 2 +4=0 y0 x0-2 =-1

解得：x₀=-4
∴

4

c

=4，∴c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-4，y₃）
椭圆的左焦点F的直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②．
∵

OA

+

OC

=2

OB

，
∴（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂）
∴2x₂-x₁=-4③．
由①③得：x₂=-

4+8k2

3+4k2

，x₁=

4

3+4k2

，
代入②整理得：4k⁴-k²-5=0．
∴k2=

5

4

，
∴x₂=-

7

4

，x₁=

1

2

．
由于对称性，只需求k=

5

2

时，△OAB的面积，
此时，y₁=

3 5

4

，y₂=-

3 5

8

，
∴△OAB的面积为

1

2

|OF||y₁-y₂|=

9 5

16

．

点评：本题考查椭圆的方程，掌握轴对称的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、向量运算及其相等是解题的关键．