已知向量a1=.d=(1.1).对任意n∈N*都有an+1=an+d．(1)求|an|的最小值,(2)求正整数m.n.使am⊥an．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知向量

=(1，-7)，

=(1，1)，对任意n∈N^*都有

an+1

．
（1）求|

|的最小值；
（2）求正整数m，n，使

⊥

．

考点：数列与向量的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（1）设

=（x_n，y_n），由

an+1

，可得{x_n}、{y_n}都是公差为1的等差数列，求出

=（n，n-8），即可求|

|的最小值；
（2）

⊥

等价于

•

=0，可得（m-4）（n-4）=-16，即可求出正整数m，n．

解答： 解：（1）设

=（x_n，y_n），由

an+1

得

xn+1=xn+1

yn+1=yn+1

∴{x_n}、{y_n}都是公差为1的等差数列…．（3分）
∵

=（1，-7），
∴x_n=n，y_n=n-8，
∴

=（n，n-8），
∴|

n2+(n-8)2

2(n-4)2+32

≥4

∴|

|的最小值为4

…..（6分）
（2）由（1）可设

=（m，m-8）

=（n，n-8）
由已知得：

•

=0
∴mn+（m-8）（n-8）=0
∴（m-4）（n-4）=-16…..（8分）
∵m，n∈N⁺
∴

m=2

n=12

或

m=3

n=20

或

m=12

n=2

或

m=20

n=3

…..（12分）

点评：本题考查数列与向量的综合，考查等差数列的通项，考查向量的数量积公式，属于中档题．

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，

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，则

．

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（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试探究2014是否是数列{S_n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．

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