Question

（本题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，，平面平面，是的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）取的中点，连结，， 由题意知 ，.

又因为 平面平面，所以 平面

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 2分

则，，，，，

. 4分

因为 ，所以 6分

（2）取的中点，连结，， 由题意知 ，.

又因为 平面平面，所以 平面

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 7分

则，，，，，

.

设平面的法向量为，则 即

令.所以. 9分

又平面的法向量 10分

设二面角的平面角为，则. 12分

考点：1、直线与直线垂直的判定；2、平面与平面所成角的余弦值.

考点分析： 考点1：点、线、面之间的位置关系 考点2：异面直线所成的角 考点3：线面所成的角 试题属性

• 题型：
• 难度：
• 考核：
• 年级：